此文这里只介绍较好理解的 KZG 多项式承诺，KZG 多项式承诺（KZG Polynomial Commitment）也被称为卡特多项式承诺方案，是 Kate，Zaverucha 和 Goldberg 一起发表的。
作者：Xiang，W3.Hitchhiker
修订：Evelyn，W3.Hitchhiker
不同多项式承诺方案列表
上表中，FRI 是 Starkware 采用的多项式承诺方案，可以实现量子级别的安全，但证明的数据量却是最大；IPA 是 Bulletproof 和 Halo2 零知识算法默认的多项式承诺方案，验证时间相对较长，采用的项目有门罗币，zcash 等，前两者是不需要初始可信设置的。
由上图可以看出在证明大小与验证时间上，KZG 多项式承诺的优势比较大，KZG 承诺也是目前应用最广的一种多项式承诺方式。但 KZG 是基于椭圆曲线，配对函数，需要初始可信设置的。
ETH 升级路线与多项式承诺的关联
在 ETH 相关生态及其未来升级路线中，都可以看到多项式承诺的踪影。
The Merge：
现时的以太坊主链和 Beacon Chain 将会合并，原本的 PoW (工作量证明) 共识将会转变成 PoS (权益证明)。
The Surge：
添加 DAS（数据可抽样性功能），极大的提高 ETH 的扩展性，通过 Danksharding 增强 rollup 性能。
The Verge：
引入 Verkle 树 (Verkle Trees) 的设计来优化以太坊上的数据存储。
The Purge：
通过剔除历史数据和消除技术债务，验证者不再需要使用大量硬盘空间去进行验证工作。
The Splurge：
四个不同部分升级后的协调，旨在减少错误 (Bugs) 的出现和确保网络能畅顺运作，还有就是 EVM 改进和添加账号抽象模型等。
其中 The Surge 升级将借鉴多项式承诺技术实现数据可抽样性功能，The Verge 升级将利用多项式承诺来优化其数据结构，ETH L2 的 zkrollup 也都采用了多项式承诺来实现其零知识证明带来的性能拓展。
什么是 KZG 多项式承诺
此文这里只介绍较好理解的 KZG 多项式承诺，KZG 多项式承诺（KZG Polynomial Commitment）也被称为卡特多项式承诺方案，是 Kate，Zaverucha 和 Goldberg 一起发表的。在一个多项式方案中，证明者计算一个多项式的承诺，并可以在多项式的任意一点进行打开，该承诺方案能证明多项式在特定位置的值与指定的值一致。
之所以被称为承诺，是因为当一个承诺值（椭圆曲线上的一个点）发送给某对象 (验证者) 时，证明者不可以改变当前计算的多项式。他们只能够对一个多项式提供有效的证明；当试图作弊时，它们要不无法提供证明，要不证明被验证者拒绝。
KZG 数学原理
详细可参考 Qi Zhou 博士在 Dapp Learning 讲解的关于 KZG 视频。
在理解 KZG 之前，可以先了解一下多项式、群、环、域、椭圆曲线、生成元、配对公式、朗格朗日插值等数学定义。
具有可信设置的多项式承诺
单个证明
卡特证明单个数据的公式推衍如下，由于椭圆曲线群只支持加法同态，无法支持多项式之间的乘法，这是就需要通过配对函数解决，
由于椭圆曲线群并不支持运算多项式之间的乘法运算，所以此时得采用配对函数去解决
批量证明
具体应用场景
多项式承诺应用方向总结起来可以分为 3 大类
- 数据可用性（ETH Surge 升级，ETH danksharding，降低 L2 成本，模块化数据可用性项目 Avails）
- 数据结构优化（MPT 树改为 Verkle 树，ETH Verge 升级，无状态客户端，实现 ETH 的轻量的验证节点）
- 零知识证明系统（Zksync，Zkswap，Scroll，PSE 给 Zk 提供多项式承诺方案，大大提升链的拓展能力）
1. 数据可用性
DAS（数据可用性抽样）
核心目的：数据缺失则无法通过大多数节点抽查
尽力做到：占用带宽小，抽样过程所需计算量小
纠删码（celestia）
纠删码会增加额外数据块，这种情况很容易通过抽样调查发现，从而提升安全性。
以上图为例，有 4 个数据，一次只能抽样一个，假设一个数据有问题，每个用户抽样发现错误的概率是 1/4，但是加入两数据块后，还是一个数据有问题，用户抽样发现的概率可以高达 1/2（3/6）。这样就能大幅提升安全性。
KZG 也可实现纠删码，利用拉格朗日公式：
比如把 (0,3)，(1,6) 带入公式可得，y=3x+3
y1，y2 可以理解为要保存的数据，
对应点（2,8）(3,12) 等等，其中 y 值可以作为纠删码数据，其中任意两个点都可以推出原多项式公式系数。
不同数据可用性项目组成
Celestia = Tendermint (cosmos) + 2d 纠删码 + 欺诈证明 + Namespace merkle tree + IPFS 基础设施（数据存储用的 IPFS Blockstore，传输网络用的 IPFS 的 Libp2p 与 bitswap，数据模型用的 IPFS 的 Ipld）
Polygon Avail = Substrate(Polkadot) + 2d 纠删码 + KZG 多项式承诺 + IPFS 基础设施
ETHprotoDankSharding = Blobs 数据（数据可用性的存储，替换现有的 calldata）+ 2d 纠删码 + KZG 多项式承诺（未定，方案目前仍在讨论）+ ETH 基础设施
EIP-4844 升级将在 The Merge 之后的下一个以太坊分叉升级中引入 “proto-danksharding” 并添加 blob 交易类型（EIP-4844），这有望将第 2 层 Rollup 的可扩展性提高，同时为实现完全分片（sharding）铺平道路。
Blob Transaction
- 增加一种新的交易类型，这种交易包含额外的存储空间 —— Blobs
- Blob 开始只有 128 KiB 的存储空间（1）一个交易最多包含 2 个 Blob，即 256 KiB（2）一个 Block 最多包含 16 个，即 2 MiB；Target 是 8 个，即 1 MiB（可扩大）
- Blob 以 KZG Commitment Hash 作为 Hash，用于数据验证，作用和 Merkle 类似
- 节点同步链上的 Blob Transaction 后，Blob 部分会在一段时间后过期删除
L2 需要通过更新目前在 L1 的合约，以支持 DankSharding。
Celestia 通过欺诈证明实现。当见证人发现数据没有被正确采用删码技术，那么这个人就会将欺诈证明提交从而来提醒其他节点。但是这里需要最少诚实假设（至少连接到一个诚实节点）和同步假设（当有人给我发送欺诈证明的时候，需要确保我能在一定时间内收到通知）。
protoDanksharding 后的以太坊和 Polygon Avail 则采用了 KZG 多项式承诺（KZG commitments) 的方法。
KZG 多项式承诺方案，理论上要优于欺诈证明方案，带宽需求更小，抽样所需计算量也更小，也免去了欺诈证明中的包括少数诚实假设和同步假设等的安全假设。 未来 ETH 也有意引入抗后量子密码学 (参考 stark，采用哈希，不在使用椭圆曲线作为基础)，避免量子计算机攻击。
2. 数据结构优化 Verkle Tree
Verkle Tree 的概念在 2018 年推出，作为 ETH 升级的一个重要部分，其相比于 Merkle Tree，在 Proof 的大小上，有着很大的提升；对于规模在十亿级别的数据，Merkle Tree 的 proof 大约需要 1kB，而对于 Verkle Tree， 它将小于 150Bytes。
与 Merkle Tree 一样 Verkle Tree 也能实现 Proof of Inclusion（PoI），而且只需 KZG root 和 Data 就能验证，不需要额外的 Proof，更省带宽。
- 需求：Stateless Client
- （1）节点不存完整的 State Tree，只获取需要的 State 来验证 Block
- （2）Portal Network
- （3）对 State Tree 的 PoI 有更高的性能要求
- 回顾 Data Availability 里的 KZG commitment
- 每个 leaf 都是 polynomial 上的点
- constant size proof，和 leaf 数量无关
在不同树结构中构建证明，更新证明，以及证明所需的复杂度：
Verkle 方案不需要以太坊客户端下载完整的状态数据，使得 ETH 验证者轻节点成为可能 (甚至可支持手机运行)，多项式承诺（Verkle 树的多项式承诺方案，早期考虑的 KZG，近期还是考虑用 IPA）需要的证明空间复杂度大幅降低，带宽量需求量也大幅减少。
3. 零知识证明系统
早期 zk 技术（Groth16）属于线性 PCP 类。 除要求可信设置外，主要缺点是如果需要为不同的计算（不同的电路/多项式）提供证明，都需要一次新的设置。近期 zk 技术 PIOP 类支持通用初始设置和透明设置（不需要信任假设）。
新的 zk 证明系统通常可以描述为 PIOP（Polynomial Interactive Oracle Proof，多项式交互预言证明）+ PCS（Polynomial Commitment Scheme，多项式承诺方案）。前者可被视为是证明者用来说服验证者的约定程序，而后者使用数学方法确保该程序不会遭到破坏。项目方可以按需修改 PIOP，且可以在不同 PCS 中进行选择。
由 Amber 文章里的图可以看到 zk 系公链项目采用 KZG 方案的最多，有 Ploygon Hermez，Scoll，Zksync2.0，Aztec，Aleo，Manta，以太坊基金会支持的 PSE（隐私与扩展探索团队）也采用的 KZG 方案。而 Starknet，Risc0，Polygon Miden 采用的是 FRI 方案，Ploygon Zkvm(Hermez) 则是 FRI 与 KZG 的结合。
值得一提是，一些新的零知识证明系统支持多项式承诺方案的切换，KZG 未来也可以切换成其他多项式承诺方案。
总的来说，多项式承诺正在重塑整个区块链的架构，不论是在链的数据结构优化上，模块化区块链的数据可用性上，还是零知识证明系统上都将大有作为。其他地方是否还存在应用场景也是非常值得探索与跟进的。
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